POLINOMIOS Y SISTEMAS

 

1-Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número (coeficiente) por una o más letras (Parte literal), por ejemplo:

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

 

La suma (o resta) de dos monomios semejantes es otro monomio semejante con coeficiente la suma (o resta) de los coeficientes de los monomios dados;

El Producto de dos monomios es otro monomio, con coeficiente el producto de los coeficientes y parte literal el producto de las partes literales.

 

2-Polinomios

Polinomio: es una expresión algebraica formada por la suma de monomios; por ejemplo:

Un Polinomio es reducido si no tiene monomios semejantes. Para trabajar con polinomios es conveniente reducirlos primero. Por ejemplo:

Polinomio opuesto de un polinomio dado es aquel que se obtiene al cambiar todos sus coeficientes de signo.

Ejemplo el polinomio opuesto de

El valor numérico de un polinomio P(x) para un valor de x = a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a y operando.

Así, el valor de

 

Grado de un Polinomio es el mayor de los exponentes de la variable x

 

Suma

La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos.

Resta

La resta de dos polinomios se obtiene sumando el primero con el opuesto del segundo. Sean los polinomios:

    y 

el opuesto de Q(x) será:  y la resta seria asi:

 

El Producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro y sumando después los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones.

División

Como en todas las divisiones, Dividendo D(x) es igual a divisor d(x) por cociente c(x) mas el resto R(x)

Si , la división es exacta, y se dice que el polinomio D(x) es divisible por d(x), que D(x) es múltiplo de d(x) o que d(x) es divisor de D(x). En caso contrario la división es entera.

1-Se ordenan los polinomios según las potencias de x, de mayor a menor

2-Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor:

3-El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo

4- Se baja el siguiente término del dividendo  y se divide el primer termino del dividendo parcial entre el primer termino del divisor. Se continua el proceso hasta llagar a un resto cuyo grado sea menor que el grado del divisor.

 

 

 

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini se aplica en las divisiones cuyo divisor es un polinomio de la forma x-a, donde a es un numero real.

Ejemplo si dividimos los polinomios siguientes de la forma tradicional :

nos da como resultado:

 

El método de ruffini es el siguiente:

- Se coloca en la primera línea los coeficientes del dividendo

- En la parte inferior izquierda se coloca el termino independiente del divisor cambiado de signo

- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.

- Se multiplica "a" ( en nuestro caso -1) por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente

- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.

- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes

 

Esquema de la Regla de Ruffini

Operaciones realizadas

(-1).4 + 3 = -1

(-1).(-1)+0 = 1

(-1).1+(-6) = -7

 

El grado del cociente, al aplicar la regla de ruffini, es siempre una unidad menor que el grado del dividendo.

 

Teorema del Resto

El resto de la división de un polinomio P(x) dividido entre x-a es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a, es decir R(x)=P(a).

Demostración:

Ejemplo: cual es el resto del la división

 

 

 

 

Raíces de un Polinomio

Un número a es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero, P(a) = 0. En este caso, el polinomio P(x) es divisible por x – a, y este es un factor de P(x)

 

Ejemplo:

El polinomio  tiene como raíces 2 y 4 ya que:

Por lo tanto el polinomio P(x) es divisible por X-2 y X-4. Estos dos binomios son factores del polinomio P(x)

 

Raíces enteras de un Polinomio

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente.

 

Demostración

Sea el polinomio:

Si a es una raíz entera, entonces

Si a es un numero entero, la expresión  es también un número entero que llamaremos c.

Entonces:

Tanto si c es positivo como negativo:

Por lo tanto el numero a, que es raíz entera del polinomio, es divisor de -18, termino independiente del polinomio.

 

Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio P(x) es descomponerlo en producto de otros polinomios del menor grado posible.

Ejemplos:

Factorizar el polinomio

Sabemos que suma por diferencia es diferencia de cuadrados

por lo tanto

es decir, sus raíces son +2 y -2

 

Otro ejemplo:

Factorizar el Polinomio:

Sabemos que

Luego

 

Otro ejemplo:

Factorizar el Polinomio:

Lo primero es sacar factor común x

Ahora vamos a calcular las raíces del polinomio

Las raíces de este polinomio estarán comprendidas entre los divisores del termino independiente, es decir entre los divisores de -2 es decir entre

Vamos a ver cuales son

Luego las raíces de Q(x) son +1, -1 y -2

Por lo tanto las raíces enteras del polinomio inicial P(x) serán 0, +1, -1, -2

Por tanto su Factorización será la siguiente:

 

Otro ejemplo

Factorizar el Polinomio

Cualquier numero que pongamos en lugar de X dará positivo que sumado a 16 nunca podrá dar 0, luego no tiene raíces reales y no se puede factorizar.

 

3-Sistemas de Ecuaciones.

Sistema de Ecuaciones de Primer grado

Un sistema de dos ecuaciones lineales (o de primer grado) con dos incógnitas esta formado por dos ecuaciones de dicho tipo.

Su expresión general es siendo a,a’,b,b’,k,k’ números reales.

Coeficientes: son los números a, a’,b, b’

Términos independientes: los números k, k’

Una solución al sistema es un par de números que verifica ambas ecuaciones del sistema.

Ejemplo: vamos a calcular  la solución del sistema siguiente y representarlo gráficamente:

 

Tanto la primera ecuación como la segunda corresponden a líneas rectas. Si representáramos ambas gráficamente, comprobaríamos que la solución al sistema corresponde al punto de corte de ambas líneas.

 

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

 

Si a los dos miembros de una de las ecuaciones de un sistema se multiplican o dividen por un mismo numero distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al primero.

Si a los dos miembros de una de las ecuaciones de un sistema se suma o resta un mismo numero o termino algebraico, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si una ecuación de un sistema de ecuaciones se sustituye por la suma de ella misma con la otra multiplicada por un numero cualquiera, se obtiene un sistema equivalente al primero

Ahora sumamos la ecuación que hemos obtenido al multiplicar la primera, con l asegunda:

esta ecuación que hemos obtenido sustituye a la segunda y el sistema obtenido es equivalente al inicial:

 

Métodos de Resolución

Por ejemplo, en un parque de atracciones subir a la noria cuesta 1 euro y a la montaña rusa 2 euros. Maria sube un total de 10 veces y gasta 16 euros. ¿Cuántas veces subió a cada atracción?

Vamos a representarlo en un sistema de ecuaciones para darle resultado:

X = numero veces que sube noria

Y= numero de veces que sube a la montaña rusa

El sistema de ecuaciones será:

1-Método de sustitución

Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación del sistema y sustituir la expresión obtenido en la otra ecuación.

1-Se despeja x en la primera ecuación: .

2-Se sustituye el resultado en la segunda ecuación y se resuelve:

3-Se sustituye el valor obtenido en la primera ecuación.

Por lo tanto la solución al sistema es  y

2-Método de igualación

1-Despejamos x en las dos ecuaciones:

2- Igualamos las expresiones obtenidas

3-Resolvemos

 

 

4-Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones:

 

3-Método de Reducción:

Consiste en multiplicar una de las ecuaciones o ambas por algún número, de modo que obtengamos un sistema en el que los coeficientes de X y/o de Y sean iguales y de signo contrario, para eliminar dicha incógnita al sumar ambas ecuaciones.

Sea el sistema de ecuaciones siguiente:

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones el valor obtenido:

 

Sistemas Compatibles e Incompatibles

Sistemas compatibles: Son los  sistemas de ecuaciones que tienen solución.

-Compatible determinado: El sistema de ecuaciones solo tiene una solución. Es decir si lo representamos gráficamente serán dos rectas que se cortan en un punto

 

Compatible indeterminado: El sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo un sistema cuya segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por un numero.

 

Sistemas Incompatibles: son los sistemas que no tienen solución.

Las dos rectas que se representan son paralelas, es decir no se cortan

Ejemplo:

Observa como si , su doble no puede ser también igual a 4